miércoles, 26 de marzo de 2008



by Ray Girvan

Mandelbrot set: modern image Until recently, Udo of Aachen occupied a sideline in the history books as a minor poet, copyist and theological essayist. Even his birth and death dates of this mediaeval Benedictine monk are unknown, though he probably lived from around 1200-1270 AD. [*1] A new study of his work, however, has led to his recognition as an outstandingly original and talented mathematician.

While Udo himself is little-known, one of his works is far more familiar. This 13th century German monk was the author of a poem called Fortuna Imperatrix Mundi (Luck, Empress of the World) in the collection of mediaeval underground verses now known as the Carmina Burana. [*2] Orchestrated by composer Carl Orff in 1937, Udo's poem is now widespread as the choral work, O Fortuna, which has been used by the media many times, from incidental music to the film Excalibur to the backing for after-shave lotion advertisements.

The first clue to Udo's undiscovered skills was found by mathematician Bob Schipke, a retired professor of combinatorics. On a holiday visit to Aachen cathedral, the burial place of Charlemagne, Schipke saw something that amazed him. In a tiny nativity scene illuminating the manuscript of a 13th century carol, O froehliche Weihnacht, he noticed that the Star of Bethlehem looked odd. On examining it in detail, he saw that the gilded image seemed to be a representation of the Mandelbrot set, one of the icons of the computer age. [*3]

O froehliche Weihnacht Discovered in 1976 by IBM researcher Benoit Mandelbrot, the Mandelbrot set is the most famous fractal (a mathematical object with the property of infinite detail). Only the advent of fast computers made feasible the repeated calculations involved - or so it was thought. [*4]

"I was stunned," Schipke says. "It was like finding a picture of Bill Gates in the Dead Sea Scrolls. The colophon [the title page] named the copyist as Udo of Aachen, and I just had to find out more about this guy."

Schipke visited Bavaria, where the poems, Cantiones profanae (now the Carmina Burana), were discovered in 1837. Written by wandering scholars and monks in the 13th century, they were collected as an anthology in the Benedictine monastery at Beuron, near Munich, and Schipke began his search there. With the help of historian Dr Antje Eberhardt at the University of Munich, Schipke gained access to ecclesiastical archives, where he found a document called the Codex Udolphus. Written in illuminated Latin, with informal marginalia in Greek, the Codex bore the signature of Udo himself.

"Although it had been discovered in the 19th century, it had promptly been filed away again," Schipke says. "The local historian who found it was clearly no mathematician, and dismissed it as obscure theology. But it yielded several major surprises."

In a recent paper, Schipke and Eberhardt report on Udo's discoveries. [*5] The first chapter, Astragali (Dice) was originally thought to be a discourse on the evils of gambling. It turned out to be Udo's research into what we now would call probability theory. He derived simple rules to add and multiply probabilities, and thus devised strategies for several card and dice games.

The second part, Fortuna et Orbis (Luck and a Circle) describes Udo's determination of the value of pi by scattering equal sticks on a ruled surface, and counting what proportion lie across the lines. This was an anticipation of the Buffon's Needle technique, named after the 18th century mathematician normally credited with its discovery. [*6] This is a very laborious method, but Udo managed to get a respectable - but very lucky - approximation of 866/275 (3.1418...) and had enough confidence in it to dispute the value of pi=3 implied in the Bible. [*7] (I say 'lucky' because Buffon's Method converges extremely badly, and it's well possible that Udo achieved this good result by choosing his stopping point judiciously - perhaps influenced by the 3.1418 quoted by his contemporary, Leonard of Pisa, otherwise known as Fibonacci).

Schipke continues: "What was interesting at this point was that we looked back at the words of O Fortuna, and suddenly they fell into place. Verse two - Luck / like the moon / changeable in state / We are cast down / like straws upon a ploughed field / Our fates measuring / the eternal circle - is very clearly an allusion to the Buffon's Needle method." [*8]

More was to come. In the final and longest chapter, Salus (Salvation), Schipke uncovered the most radical work. Udo had, it seemed, investigated the Mandelbrot set, seven centuries before Mandelbrot.

O froehliche Weihnacht (detail) Initially, Udo's aim was to devise a method for determining who would reach heaven. He assumed each person's soul was composed of independent parts he called "profanus" (profane) and "animi" (spiritual), and represented these parts by a pair of numbers. Then he devised rules for drawing and manipulating these number pairs. In effect, he devised the rules for complex arithmetic, the spiritual and profane parts corresponding to the real and imaginary numbers of modern mathematics.

In Salus, Udo describes how he used these numbers: "Each person's soul undergoes trials through each of the threescore years and ten of allotted life, [encompassing?] its own nature and diminished or elevated in stature by others [it] encounters, wavering between good and evil until [it is] either cast into outer darkness or drawn forever to God."

When Schipke saw the translation, at once he saw it for what it was: an allegorical description of the iterative process for calculating the Mandelbrot. In mathematical terms, Udo's system was to start with a complex number z, then iterate it up to 70 times by the rule z -> z*z + c, until z either diverged or was caught in an orbit. [*4]

Below the description was drawn the first crude plot of the Mandelbrot, which Udo called the "Divinitas" ("Godhead"). He set it out in a 120x120 frame he termed a "columbarium" (i.e. a dovecote, which has a similar grid of niches) and records that it took him nine years to calculate, even with the newly imported technique of ‘algorism', calculation with Arabic numerals rather than abacus.

"It tends to be taken for granted," Schipke says, "That the Mandelbrot is too calculation-intensive to be done without computers. What we have to remember is the sheer devotion of the monastic life. This was a labour of faith, and Udo was prepared to work for years. Some slowly-converging pixels must have taken weeks."

Why did the work of this gifted mathematician go unnoticed for so long? Schipke blames, in part, specialisation. "When the Codex was unearthed in 1879, only a non-mathematician got to see it, and he didn't know what he was looking at. It's a common enough story. Take Hildegard of Bingen, whose accounts of her visions were taken as pure mysticism, but neurologist Oliver Sacks instantly recognised them as accurate descriptions of migraine symptoms. Likewise, literary critics dismissed Edgar Allan Poe's final work, Eureka, as alcoholic ravings. But now scientists are finding valid insights in it, such as Poe's correct solution of the Olbers paradox in astronomy, or his coining of the classic Einsteinian phrase, 'Space and duration are one'." [*9, *10]

"But there were also contemporary reasons why Udo's knowledge didn't make it into the mainstream. His basic belief - that salvation and damnation could be determined in advance - was heretical, and his use of Arabic numerals was thought a bit of a black art. And there was the disagreement with Thelonius."

Codex Udolphus Despite the borderline nature of his work, Udo impressed his abbot at the monastery of Sankt Umbertus near Aachen. Life for a 13th century monk wasn't necessarily austere: the scurrilous Cantiones profanae poems record the delights of sex, eating, drinking and gambling. In a footnote to Astragali, Udo writes: "My enumeration of the ways [of dice] helped my lord abbot to win thirty-two florins and a fine new cloak from the Burgermeister at Irrendorf, and he has promised me a helper for my work".

But Udo and his helper, Thelonius, ran into instant disagreement. Udo had always interpreted the Mandelbrot as signifying God. Thelonius took the opposite view: that it represented the Devil. Numbers that escaped to infinity, he argued, were souls flying free to heaven, and those caught in an orbit had fallen into the pit of Hell. Like many theological collaborations, they had a schism on their hands.

Udo noted that their differences brought all work to a halt, and finally the two were reprimanded by the abbot for coming to blows in the refectory. "Sadly I write," says Udo on the last page of the Codex Udolphus, "that on pain of excommunication I must lay down my dice and my numbers. I have seen into a realm of heavenly complexity, and my heart is heavy that the door is now closed."

Bob Schipke comments: "It's a pity that personal differences ended research that could have moved mathematics forward by centuries. But fortunately, Udo couldn't leave the subject alone. By dropping clues into the Cantiones profanae and the manuscripts he illuminated later in his life, he ensured that we were able to recover his work and give him the recognition that he deserves."

lunes, 24 de marzo de 2008


Quizá alguien piense, sin embargo, que de este modo convertimos a los súbditos en esclavos, por creer que es esclavo quien obra por una orden, y libre quien vive a su antojo. Pero esto está muy lejos de ser verdad, ya que, en realidad, quien es llevado por sus apetitos y es incapaz de ver ni hacer nada que le sea útil, es esclavo al máximo; y sólo es libre aquel que vive con sinceridad bajo la sola guía de la razón. La acción realizada por un mandato, es decir; la obediencia suprime de algún modo la libertad; pero no es la obediencia, sino el fin de la acción, lo que hace a uno esclavo. Si el fin de la acción no es la utilidad del mismo agente, sino del que manda, entonces el agente es esclavo e inútil para sí.

Burke III

  • Las Recetas del Doctor (What the Doctor Ordered)
    A finales del siglo XVIII, tras la revolución americana y cuando Philadelphia era la ciudad más avanzada de los Estados Unidos y su hospital el más avanzado del mundo, Benjamin Franklin viajó a Francia y exportó el modo de actuar americano. En 1793 la nueva república francesa estaba en guerra, y los cirujanos tuvieron ocasión de descubrir un gran número de hechos médicos: potenciaron el uso de ambulancias para el tratamiento rápido de los heridos y del agua para limpiar las heridas, asimismo se avanzó en el conocimiento de amputaciones e injertos. En definitiva, los cirujanos salvavan más vidas que los médicos y en 1794 los cirujanos fueron elevados a la categoría de médicos. En Francia empezaron a abrirse facultades médicas y por aquel entonces, el enfermo ya hacía lo que le decía el médico. Hacia 1800, un cirujano de París estaba estudiando centenares de cadaveres y concluyó que el cuerpo humano estaba compuesto de tejidos y que las enfermedades atacaban tejidos; había nacido la anatomía patológica.
    En aquella época, Laplace había elaborado la teoría de la probabilidad y sus matemáticas fueron utilizadas para un censo estadístico ordenado por Napoleón. Hacia 1820, había en París más de 50000 camas de hospitales, había tantos enfermos que las matemáticas empezaron a emplearse en la medicina. Los pacientes intervenían cada vez menos.
    A principios del siglo XIX, la revolución industrial que se desarrollaba en Inglaterra estaba sentando las condiciones favorables para una epidemia. En 1831, Bill Sproud murió de cólera y la epidemia se extendió por toda Inglaterra. Al final del primer año ya habían 32000 víctimas y las sociedades de mutualidad se hundían. En 1840, William Farr, que había regresado a Inglaterra después de estudiar en París, terminó sus estadísticas sobre la población. Poco después, el cólera volvió a atacar y Farr consiguió más datos. Finalmente, gracias a las estadísticas, se pudo relacionar el cólera con el agua del Támesis y las aguas residuales. La solución fue limpiar el Támesis y construir 2800 km de de redes de alcantarillado para conseguir que las aguas residuales fueran al mar en lugar de al Támesis. Gracias a la estadística matemática se consiguió eliminar el cólera pero se seguía desconociendo su causa.
    En 1842, el Dr. Long estaba utilizando éter en fiestas privadas y más tarde lo aplicó en una operación como anestésia. Esto representó un gran problema, los médicos se animaban a hacer más operaciones y la tasa de mortalidad aumentó debido a las infecciones contraídas en la sala de operaciones. No fue hasta 1864, cuando Lister empleó ácido fénico como desinfectante, que se pudo empezar a encontrar un solución. En 1878, el mismo Lister empleó el desinfectante y la anestesia en el quirófano con todo éxito. La supervivencia del enfermo estaba totalmente en manos del doctor.
    Otros avances se estaban produciendo. Koch trabajaba en África investigando sobre el ántrax, identificó varias bacterias y sus trabajos fundaron la bacteriología. En 1882 tiñó sus cultivos de bacterias y de pronto identificó muchos más microorganismos en un tiempo record. Finalmente, identificó el bacilo del cólera que se transmitía por el agua y que tantos estragos había causado. Desde entonces quedaba establecida la relación entre los microorganismos y las enfermedades.
    Hoy en día, la ciencia médica se ha establecido totalmente en nuestras vidas. En 1892 se creó el primer laboratorio de higiene pública, las estadisticas médicas se empezaron a codificar en tarjetas perforadas; finalmente nos convertimos en números.

  • La Teoria de la Evolucion (Fit to Rule)
    La opinión predominante durante el siglo XVIII era que la naturaleza funcionaba según reglas estrictas. Para Linneo, el mundo estaba sumamente organizado gracias a creaciones independientes. Linneo catalogó las plantas en clases, órdenes, géneros, etc... En 1768 se publicaba la doceava edición de su libro. En 1778, Buffon publicó sus reflexiones en 44 volúmenes. En ellos decribía 150000 años de historia natural y a la vista de su trabajo surgía una pregunta: ¿Porqué había tantas similitudes entre los seres vivos si eran creaciones independientes? Su respuesta fue que los actuales seres vivos eran formas degeneradas de las parejas originales. Sin embargo, en 1796 Smith descubrió los primeros fósiles en sus excavaciones para la construcción de canales y fue capaz de relacionar distintos fósiles con distintos estratos. Veía la luz la idea de que las cosas habían cambiado en el pasado, los seres vivos no eran inmutables. En 1794, Cuvier, mediante la anatomía comparada, fue capaz de reconstruir animales a partir de unos pocos huesos. Los resultados obtenidos indicaban que los huesos fósiles pertenecían a animales monstruosos ya extinguidos. En 1808 concluyó que los animales extinguidos habían perecido en el diluvio.
    En 1823, Hutton se dio cuenta de que los efectos del viento, el agua y la erosión podrían moldear la Tierra pero para hacerlo necesitarían de períodos de tiempo muy largos. Los trabajos del geólogo Lyell confirmaron estas ideas. Se requerían millones de años para cambiar la faz de la Tierra, de modo que la Biblia estaba equivocada. Los hallazgos de moluscos en rocas calcáreas muy antiguas confirmó la idea que se habían producido grandes cambios en el pasado.
    En 1857, Wallace, tras leer a Lyell, observó diferencias en insectos en función del hábitat. Concluyó que las variedades estaban influidas por el tipo de vida que llevaban. Escribió una carta explicando sus puntos de vista sobre la variedad de la vida, sobre cómo podría haberse producido. Tanto él como el destinatario de su carta habían leído a Malthus, que en sus escritos especulaba sobre el hecho de que el numero de individuos de una especie crecía en progresión geométrica, mientras que la cantidad de alimentos lo hacía de forma aritmética. Esto conducía a una situación en la que había "demasiadas bocas para alimentar"; los más aptos podrían reproducirse con más éxito y sobrevivir. Esta selección natural cambiaba poco a poco a los individuos de una especie, y finalmente las variedades que eran tan distintas llegaban a ser nuevas especies. El destinatario de la carta de Wallace era Darwin, que llevaba muchisimos años trabajando en la misma idea; como resultado de sus estudios publicó "El Origen de las Especies".
    Las ideas darwinianas tuvieron repercusiones inesperadas cuando se aplicaron a campos distintos para el que se habían concebido:
    • Las ideas que giraban en torno a la "supervivencia de los más aptos" favoreció la expansión de Alemania. Influido por estas ideas, en 1868, Haeckel publicó "La Historia Natural de la Creación" donde presentaba teorías racistas y la eugenesia como algo inevitable para el progreso del hombre. Estas ideas de higiene racial fueron recogidas por Himler y Hitler dando lugar al nacismo.
    • En Estados Unidos, las mismas ideas básicas de la "supervivencia de los más aptos" favoreció la libertad absoluta de acción en la economía y los negocios. Según esto, los grandes hombres de negocios eran los más aptos y los sistemas de seguridad social eran contraproducentes. En este caso, el resultado fue el capitalismo radical.
    • En otra línea de pensamiento, a Marx le pareció encontrar soporte científico a sus teorías. Si en la evolución no había intervención divina eso significaría que la clase trabajadora era dueña de su propio destino. Fue Lenin quien recogió su mensaje y, en 1917, la Unión Sovietica fue el resultado.

  • Unos (Making Waves)
    A principios del siglo XIX el interés por la electricidad se estaba avivando. Volta había demostrado que reacciones químicas podían producir electricidad, y Humphrey Davy, tras inventar el arco eléctrico, descubrió que la electricidad inducía fenómenos químicos. La conexión entre la electricidad y la química estaba plenamente establecida. En 1820, Oersted demostró la conexión entre la electricidad y el magnetismo. Esta relación fue estudiada por Faraday, quien demostró la existencia de la inducción magnética. Estos descubrimientos fueron seguidos por la proliferación de pequeños motores y generadores eléctricos; mientras que el código Morse unía a los EEUU.
    Todos estos descubrimientos pusieron de relieve el hecho de que la visión del universo de Newton no era compatible con los fenómenos eléctricos y magnéticos. Thomas Young demostró que la luz viajaba en forma de ondas, pero entonces, ¿en qué medio vibraban estas ondas? El éter, con propiedas misteriosas y extrañas, fue la respuesta que se propuso. En 1866, Maxwell desarrolló la teoría electromagnética y se pudo interpretar a la luz como una onda electromagnética. A partir de 1866, se produjeron una serie de avances en el campo de la electricidad y el magnetismo: se creó el primer enlace Morse transatlántico regular, Edison alumbró su laboratorio con luz eléctrica y Hughes fue el primero en detectar la propagación de ondas electromagnéticas, aunque sus hallazgos no fueron aceptados. Siete años más tarde, Hertz realizó experimentos similares y se llevó el mérito. Finalmente Marconi utilizó estas ondas para la primera transmisión telegráfica sin hilos.
    Entre tantos avances, aun quedaba la incógnita del éter. En 1887, Michelson y Morley intentaron detectar el éter pero de su experimento se dedujo que no había éter; entonces, ¿cómo se transmitía la luz? Para explicar el fracaso del experimento de Michelson-Morley, Fitzgerald postuló un encogimiento de los objetos en la dirección del movimiento.
    En 1895, Ernst Mach estaba estudiando los mecanismos de percepción y concluyó que la realidad exterior no era fija y que dependía del observador.
    En 1897, Thomson puso de manifiesto los electrones estudiando los rayos catódicos y más tarde se descubrió que la luz ultravioleta hacía saltar electrones de los metales. Fue Einstein quien, finalmente, puso las cosas en su sitio. Por una parte, la luz, cuando interaccionaba con los metales, se comportaba como partículas; el éter ya no era necesario. Por otra parte, también expuso que en un marco de referencia inercial las leyes de la física siempre eran las mismas, lo que explicaba el fracaso del experimento Michelson-Morley para detectar el éter.
    En 1923, de Broglie, teorizó que si las ondas podían ser partículas, las partículas podían ser ondas. Cuatro años más tarde, Davison y Germar pusieron de manifiesto el carácter ondulatorio de los electrones. Todas estas ideas se vieron culminadas en 1927 con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Según este, no existe una realidad básica clara y definida. El Universo, a muy pequeña escala, es borroso.

  • Un Mundo Sin Hilos (Worlds Without End)
    A medida que cambia nuestro conocimiento, nosotros también cambiamos. Se necesitan hipótesis y teorías sobre la naturaleza para comenzar a investigar. Nuestra estructura mental nos proporciona un sistema donde todo encaja y controla a la ciencia: Qué tipos de experimentos deben hacerse y cómo se interpretan los resultados. Nuestras versiones de la verdad cambian con el tiempo. Cuando algo no encaja, la versión ha de cambiarse. Nuestras versiones se modifican y actualizan mediante procesos de descubrimientos que sirven de plataforma hacia nuevos horizontes.
  • disgresion (2)

    El dia de San Crispin

    Este fragmento del discurso del Enrique V de Shakespeare ,justo antes de la batalla de Agincourt es de los mas bellos parrafos que lei nunca, y uno entiende que a veces, en algun momento, las palabras de algunos hombres puedan tener mas fuerza que el numero o los cañones:

    "Este es el día de la fiesta de San Crispín" —dice el rey a sus tropas—

    "el que sobreviva a este día volverá sano y salvo a sus lares,

    se izará sobre las puntas de los pies cuando se mencione esta fecha,

    y se crecerá por encima de sí mismo ante el nombre de San Crispín.

    El que sobreviva a este día y llegue a la vejez,

    cada año, en la víspera de esta fiesta,

    invitará a sus amigos y les dirá: «Mañana es San Crispín».

    Entonces se subirá las mangas, y, al mostrar sus cicatrices, dirá:

    «He recibido estas heridas el día de San Crispín».

    Los ancianos olvidan; empero, el que lo haya olvidado todo,

    se acordará todavía con satisfacción de las proezas que llevó a cabo en aquel día.

    Y entonces nuestros nombres serán tan familiares como los nombres de sus parientes...

    Harry el Rey, Bedford and Exeter,
    Warwick and Talbot, Salisbury and Gloucester,

    serán resucitados por su recuerdo viviente y saludable con copas rebosantes.

    Esta historia la enseñará el buen hombre a su hijo,

    y desde este día hasta el fin del mundo la fiesta de San Crispín nunca llegará sin que a ella vaya asociado nuestro recuerdo,

    el recuerdo de nuestro pequeño ejército, de nuestro feliz pequeño ejército, de nuestro bando de hermanos;

    porque el que vierte hoy su sangre conmigo será mi hermano;

    por muy vil que sea, esta jornada ennoblecerá su condición

    y los caballeros que permanecen ahora en el lecho de Inglaterra se considerarán como malditos por no haberse hallado aquí,

    y tendrán su nobleza en bajo precio cuando escuchen hablar a uno de los que han combatido con nosotros el día de San Crispín".

    de chacareros

    Normalmente no escribo mucho, pero he tenido suficientes discusiones con los chacareros, y dicho esto sin animo peyorativo, para no expresar, quizas malamente el putno de vista

    a) que el gobierno hace al en las retenciones, sin duda, a nadie le gusta que le saquen plata del bolsillo de uno.

    b) que la suba de ganancias es efecto foraneo, sin uda, el aumento e eficiencia es incremental, no con los altos grados de aumento de precio actuales de la soja.

    c) dicho b) es equivalente a un windfall tax sobre eso, y eso no es discutible, si se pudiera demostrar que el aumento de ganancia derivado de los precios es producto del aumento de eficiencia, vaya y pase, pero este no es el caso.

    d) que los chicos estan casi condenados a desaparecer, sin duda, es un tema de eficiencia, los pools son ma eficientes, a menos que se demuestre lo contrario, no me gusta, prefiero al chacarero chico que muestra la chata nueva.

    e) que esto es equivalente, a, por ejemplo, el chaco y la desaparicion de los braceros de algodon a manos de la soja, no creo se pueda discutir, y, en ese caso, esos braceros se transformaron en piqueteros, casi casi el equivalente de los de ahora, que, me gustaria encontrar lo que decian nuestrso farmers en esa epoca de los cortes.

    f) y, la eficiencia, cuando desaparecian poblaciones enteras en aras de la eficiencia, caso YPF/Vespucio por ejemplo, todos los chacareros aplaudian como echaban a los vagos del estado, o, al menos no escuche a ninguno cortarse las venas por eso, es lo mismo del tren, de la JNG, etc.

    g) los grandes, no sufren esto, y, me parece que los chicos son o seran el pato de la boda en esto, ellos son mas eficientes, y aca, es negocio, si no lo es reconviertanse, o al menos eso dijeron alla por los 90s

    h) cuando en el 93 hicieron el tractorazo, despues, silencio de radio, por que?

    i) un tipo con 18 ha no puede decir que el viejo modo de capitalizarse era comprar el campo de vecino, y que eso no lo puede hacer ahora por que la ha esta por las nubes, y pedir subsidio por eso, aha, yo encima lo tengo que capitalizar? por que no a mi?

    j) y, ni hablar del inmobiliaro, hasta ahora nadie lo desmintio a Montoya, sera verdad lo que dijo de 1 peso por ha?, por eso los gobernadores estan borrados? lo mas facil para la nacion es decir, muchachos, lo bajo, y le corto a las provincias un monto equivalente del copa, cobrenlo del inmobiliario

    martes, 18 de marzo de 2008


    Hoy es un dia triste

    Se va parte de mi infancia, mis primeras creencias en el progreso

    Para aquellos que crecimos viendo 2001, leyendo El centinela, Cita con Rama, etc, en fin, se fue

    esperemos que sea donde sea, pueda conocer aquello sobre todo lo que escribio


    Normalmente no escribo, pero, el dia lo merecia, y se fue en medio de un desbarajuste fenomenal de todo tipo, lastima, espero que lo recuerden al maestro